Question

16．已知函數(shù)$f（x）=|{x+\sqrt{3+a}}$|-$|{x-\sqrt{1-a}}$|，其中-3≤a≤1．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，解不等式f（x）≥1；
（Ⅱ）對于任意α∈[-3，1]，不等式f（x）≥m的解集為空集，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）討論x的范圍，去掉絕對值符號，解出x的范圍；
（II）利用絕對值不等式的性質(zhì)和基本不等式得出f（x）的最大值，即可得出m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=|x+2|-|x|，
①當(dāng)x＜-2時(shí)，不等式即為-x-2+x≥1，不等式無解；
②當(dāng)-2≤x≤0時(shí)，不等式即為x+2+x≥1，解得$-\frac{1}{2}≤x≤0$；
③當(dāng)x＞0時(shí)，不等式即為x+2-x≥1，不等式恒成立．
綜上所述，不等式的解集是$[{-\frac{1}{2}，+∞}）$．
（Ⅱ）由$f（x）=|{x+\sqrt{3+a}}|$$-|{x-\sqrt{1-a}}|≤$$\sqrt{3+a}+\sqrt{1-a}$．
而${（{\sqrt{3+a}+\sqrt{1-a}}）^2}$=$4+2\sqrt{（{3+a}）（{1-a}）}≤$4+4=8，
∴$\sqrt{3+a}+\sqrt{1-a}≤2\sqrt{2}$，∴$f（x）≤2\sqrt{2}$．
要使不等式f（x）≥m的解集為空集，則有$m＞2\sqrt{2}$，
所以，實(shí)數(shù)m的取值范圍是$（{2\sqrt{2}，+∞}）$．

點(diǎn)評 本題考查了絕對值不等式的解法，絕對值不等式的性質(zhì)，基本不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．