Question

（2013•�？诙�模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC=2AB=2AD=4BE，平面PAB⊥平面ABCD，
（Ⅰ）求證：平面PED⊥平面PAC；
（Ⅱ）若直線PE與平面PAC所成的角的正弦值為

5

5

，求二面角A-PC-D的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）由面面垂直的性質(zhì)定理證出PA⊥平面ABCD，從而得到AB、AD、AP兩兩垂直，因此以AB、AD、AP為x軸、y軸、z軸，建立坐標系o-xyz，得A、D、E、C、P的坐標，進而得到

AC

、

AP

、

DE

的坐標．由數(shù)量積的坐標運算公式算出

DE

•

AC

=0且

DE

•

AP

=0，從而證出DE⊥AC且DE⊥AP，結(jié)合線面垂直判定定理證出ED⊥平面PAC，從而得到平面PED⊥平面PAC；
（II）由（Ⅰ）得平面PAC的一個法向量是

DE

，算出

DE

、

PE

夾角的余弦，即可得到直線PE與平面PAC所成的角θ的正弦值，由此建立關于θ的方程并解之即可得到λ=2．利用垂直向量數(shù)量積為零的方法，建立方程組算出

n

=（1，-1，-1）是平面平面PCD的一個法向量，結(jié)合平面PAC的法向量

DE

=(2，-1，0)，算出

n

、

DE

的夾角余弦，再結(jié)合圖形加以觀察即可得到二面角A-PC-D的平面角的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AB⊥PA
∴PA⊥平面ABCD
結(jié)合AB⊥AD，可得
分別以AB、AD、AP為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系o-xyz，如圖所示…（2分）
可得A（0，0，0）D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0），
P（0，0，λ）   （λ＞0）
∴

AC

=(2，4，0)，

AP

=(0，0，λ)，

DE

=(2，-1，0)
得

DE

•

AC

=4-4+0=0，

DE

•

AP

=0，
∴DE⊥AC且DE⊥AP，
∵AC、AP是平面PAC內(nèi)的相交直線，∴ED⊥平面PAC．（4分）
∵ED?平面PED∴平面PED⊥平面PAC（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面PAC的一個法向量是

DE

=(2，-1，0)，

PE

=(2，1，-λ)
設直線PE與平面PAC所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜

PE

，

DE

＞|=|

4-1

5 5+λ2

|=

5

5

，解之得λ=±2
∵λ＞0，∴λ=2，可得P的坐標為（0，0，2）（8分）
設平面PCD的一個法向量為

n

=（x₀，y₀，z₀），

DC

=(2，2，0)，

DP

=(0，-2，2)
由

n

⊥

DC

，

n

⊥

DP

，得到

2x0+2y0=0 -2y0+2z0=0

，
令x₀=1，可得y₀=z₀=-1，得

n

=（1，-1，-1）（10分）
∴cos＜

n

，

DE

＞=

2+1

3 × 5

=

15

5

（11分）
由圖形可得二面角A-PC-D的平面角是銳角，
∴二面角A-PC-D的平面角的余弦值為

15

5

．（12分）

點評：本題在四棱錐中證明面面垂直，并且在線面所成角的正弦情況下求二面角A-PC-D的余弦值．著重考查了線面垂直、面面垂直的判定定理和利用空間向量研究直線與平面所成角和二面角大小的方法，屬于中檔題．