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15.設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b,a,b∈R,若2a+b=-4,證明:|f(x)|在區(qū)間[0,4]上的最大值M(a)≥4.

分析 把2a+b=-4代入函數(shù)解析式,利用f(x)的對稱軸進行分類,求出f(x)在[0,4]上的最值,進一步求得|f(x)|在區(qū)間[0,4]上的最大值.

解答 證明:∵函數(shù)f(x)=x2+ax+b,且2a+b=-4,
∴f(x)=x2+ax+b=x2+ax-2(2+a),
=(x-2)(x+2+a),
①-a2≤0時,即a≥0,f(x)在[0,4]上為增函數(shù),f(x)∈[-4-2a,2a+12],
此時|-4-2a|<2a+12,
|f(x)|的最大值M(a)=2a+12,
②-a2≥0時,即a≤-8,f(x)在[0,4]上為減函數(shù),f(x)∈[2a+12,-4-2a],
此時-4-2a>|2a+12|,
|f(x)|的最大值M(a)=-4-2a,
③0<-a2≤2時,即-4≤a<0,f(x)在[0,4]上的最小值是f(-a2)=-(a24+2a+4),
f(x)在[0,4]上的最大值為f(4)=2a+12,
∵4≤2a+12<12,-4≤-(a24+2a+4)<0,
∴|f(x)|的最大值M(a)=2a+12,
④2<-a2<4時,即-8<a<-4,f(x)在[0,4]上的最小值是f(-a2)=-(a24+2a+4),
f(x)在[0,4]上的最大值為f(0)=-4-2a,
∵4<-4-2a<12,-4≤-(a24+2a+4)<0,
∴|f(x)|的最大值M(a)=-4-2a,
∴M(a)={42aa42a+12a4,
①a<-4時,M(a)=-4-2a≥4
②a≥4時,M(a)=2a+12≥4
∴M(a)≥4.

點評 本題考查恒成立問題,主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),不等式等基礎(chǔ)知識.

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