Question

四棱錐中，底面為平行四邊形，側面面，已知

  （Ⅰ）求證：；

  （Ⅱ）在SB上選取點P，使SD//平面PAC ，并證明；

  （Ⅲ）求直線與面所成角的正弦值。

 

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）詳見試題解析; 

【解析】

試題分析：（Ⅰ）要證線線垂直只要證明線面垂直,利用題中數據求出底面平行四邊形的各邊的長度,找到 及 是等腰三角形，利用等腰三角形中線是高結論找到“線線垂直”關系（Ⅱ）要找線面平行先找線線平行,要找線線平行先找面面交線，即平面 與平面交線 ， 注意到為中點的特點，即可導致∥，從而推出線面平行 （Ⅲ）建立空間直角坐標系，確定關鍵點的坐標，再運用空間向量進行運算.

試題解析：（Ⅰ）證明：連接AC， ，

由余弦定理得，  2分

取中點，連接，則.

 

面       4分

（Ⅱ）當為的中點時，面

證明：連接 ，在中，∥  ，又 平面 ，

平面面， 平面.  7分

（3）如圖，以射線OA為X軸，以射線OB為軸，以射線OS為軸，以為原點，建立空間直角坐標系,則．

      

，9分

設平面法向量為

有令 ，則，

   11分   

所以直線與面所成角的正弦值為12分

考點：線面平行與垂直,線面角，空間向量的應用