(2005•東城區(qū)一模)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC為等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=AA1=a,D、E、F分別為B1A、C1C、BC的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:DE∥平面ABC;
(Ⅱ)求二面角B1-AF-B的大。ㄓ梅慈呛瘮(shù)表示);
(Ⅲ)求三棱錐F-B1AE的體積.
分析:(I)連接A1B、A1E,并延長A1E交AC的延長線于點(diǎn)P,連接BP.通過證得DE∥BP來證明DE∥平面ABC;
(Ⅱ)∠B1FB應(yīng)為二面角B1-AF-B的平面角.在Rt△B1BF中求解.
(Ⅲ)利用體積轉(zhuǎn)化法求得VF-B1AE=VB1-AFE=
1
3
S△AEF×B1F=
1
3
×
1
2
×AF×EF×B1F=
1
8
a3
解答:解:(I)連接A1B、A1E,并延長A1E交AC的延長線于點(diǎn)P,連接BP.

由E為C1C的中點(diǎn),A1C1∥CP可證A1E=EP
∵D、E是A1B、A1P的中點(diǎn),∴DE∥BP
又∵BP?平面ABC,DE?平面ABC,
∴DE∥平面ABC  (5分)
(II)∵△ABC為等腰直角三角形,∠BAC=90°

F為BC的中點(diǎn),∴BC⊥AF
又∵B1B⊥平面ABC,由三垂線定理可證B1F⊥AF.
∴∠B1FB為二面角B1-AF-B的平面角.
在Rt△B1BF中,∠B1BF=90°,由B1B=a,BF=
2
2
a,
可求tan∠B1FB=
B1B
BF
=
2

B1FB=arctan
2

∴二面角B1-AF-B的大小為arctan
2
(10分)
(III)又∵B1F2=
3
2
a2,EF2=
3
4
a2,B1E2=
9
4
a2

B1F2+EF2=B1E2
∴B1F=FE,∵B1F⊥AF,F(xiàn)E∩AF=F
∴B1F⊥平面AEF.
∵C1C⊥平面ABC,AF⊥FC,由三垂線定理可證EF⊥AF
VF-B1AE=VB1-AFE=
1
3
S△AEF×B1F=
1
3
×
1
2
×AF×EF×B1F=
1
8
a3
點(diǎn)評(píng):本題考查空間直線、平面位置關(guān)系的判斷,二面角大小求解,體積的計(jì)算考查空間想象能力、推理論證、計(jì)算、轉(zhuǎn)化能力.
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PE
|+|
PF
|=4.
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ME
=2
EN
,求直線MN的方程.

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24
25
,cos
θ
2
的值為( 。

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