Question

【題目】雙曲線繞坐標原點旋轉(zhuǎn)適當角度可以成為函數(shù)的圖象，關(guān)于此函數(shù)有如下四個命題：① 是奇函數(shù)；② 的圖象過點或；③ 的值域是；④ 函數(shù)有兩個零點；則其中所有真命題的序號為________.

Answer 1

【答案】①②

【解析】

根據(jù)雙曲線關(guān)于坐標原點對稱,則旋轉(zhuǎn)后得到的函數(shù)的圖象也關(guān)于原點對稱,即有為奇函數(shù)；根據(jù)雙曲線的頂點、漸近線方程可得旋轉(zhuǎn)后的的圖象的漸近線,再由對稱性可得的圖象過或；根據(jù)的圖象按逆時針旋轉(zhuǎn)位于一三象限由圖象可得頂點為點,不是極值點,則的值域不是,也不是

；分的圖象所在的象限討論,得出的圖象與直線沒有交點,函數(shù)沒有零點.

解：雙曲線關(guān)于坐標原點對稱,

可得旋轉(zhuǎn)后得到的函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱,

即有為奇函數(shù),故①對；

由雙曲線的頂點為,漸近線方程為,

可得的圖象的漸近線為和,

圖象關(guān)于直線對稱,

可得的圖象過或.

由對稱性可得的圖象按逆時針旋轉(zhuǎn)位于—三象限；

按順時針旋轉(zhuǎn)位于二四象限；故②對；

的圖象按逆時針旋轉(zhuǎn)位于一三象限由圖象可得頂點為點或..

不是極值點,則的值域不是；

的圖象按順時針旋轉(zhuǎn)位于二四象限,由對稱性可得的值域也不是

,故③不對；

當的圖象位于一三象限時,的圖象與直線有兩個交點,函數(shù)有兩個零點；

當的圖象位于二四象限時,的圖象與直線沒有交點,函數(shù)沒有零點故④錯.

故真命題為：①②

故答案為：①②