Question

已知函數f（x）=ln（ax+1）+

2

x+1

-1（x≥0，a＞0）．
（1）若f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（2）求f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究函數的單調性

專題：綜合題,導數的概念及應用

分析：（1）求導數，利用f（x）在x=1處取得極值，可得f′（1）=2a-2=0，即可求a的值；
（2）分類討論，利用導數的正負，即可求f（x）的單調區(qū)間．

解答： 解：（1）f′（x）=

ax2+a-2

(ax+1)(x+1)2

，
∵f（x）在x=1處取得極值，
∴f′（1）=2a-2=0，
∴a=1；
（2）∵f′（x）=

ax2+a-2

(ax+1)(x+1)2

（a＞0，x≥0），
若a≥2，x≥0，則f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
若0＜a＜2令f′(x)=0得x=

2-a a

或-

2-a a

（舍去），
∴函數f（x）在(0，

2-a a

)上單調遞減，在(

2-a a ，+∞)

上單調遞增．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的極值與單調性，屬于中檔題．