Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{alnx+b}{x}$（a≤2且a≠0），函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線過(guò)點(diǎn)（3，0）
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）=a+2-x-$\frac{2}{x}$的圖象在區(qū)間（0，2）有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出b=2a，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）令h（x）=x²-（a+2）x+alnx+2a+2，問(wèn)題等價(jià)函數(shù)h（x）在（0，2]與x軸只有唯一的交點(diǎn)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定a的范圍即可．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{alnx+b}{x}$，∴f（1）=b，f′（x）=$\frac{a-b-alnx}{{x}^{2}}$，
f′（1）=a-b，
∴y-b=（a-b）（x-1），切線過(guò)點(diǎn)（3，0），
故b=2a，
f′（x）=$\frac{a-b-alnx}{{x}^{2}}$=-$\frac{a（lnx+1）}{{x}^{2}}$，
①當(dāng)a∈（0，2]時(shí)，x∈（0，$\frac{1}{e}$）遞增，x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）遞減，
②當(dāng)a∈（-∞，0）時(shí)，x∈（0，$\frac{1}{e}$）遞減，x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）遞增；
（2）等價(jià)方程$\frac{alnx+2a}{x}$=a+2-x-$\frac{2}{x}$在（0，2]只有1個(gè)根，
即x²-（a+2）x+alnx+alnx+2a+2=0在（0，2]只有1個(gè)根，
令h（x）=x²-（a+2）x+alnx+2a+2，
等價(jià)函數(shù)h（x）在（0，2]與x軸只有唯一的交點(diǎn)，
∴h′（x）=$\frac{（2x-a）（x-1）}{x}$，
①a＜0時(shí)，h（x）在（0，1）等價(jià)，在（1，2）遞增，
x→0時(shí)，h（x）→+∞，要函數(shù)h（x）在（0，2]與x軸只有唯一的交點(diǎn)，
∴h（1）=0或h（2）＜0，
∴a=-1或a＜-$\frac{2}{ln2}$；
②a∈（0，2）時(shí)，h（x）在（0，$\frac{a}{2}$）遞增，在（$\frac{a}{2}$，1）遞減，在（1，2）遞增，
∵h(yuǎn)（$\frac{a}{2}$）＞h（1）=a+1＞0，x→0時(shí)，h（x）→-∞，
∵h(yuǎn)（e^-4）=e^-8-e^-4-2＜0，f（2）=2+ln2＞0，
∴h（x）在（0，2]與x軸只有唯一的交點(diǎn)，
故a的范圍是a=-1或a＜-$\frac{2}{ln2}$或0＜a≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類(lèi)討論思想，是一道綜合題．