Question

已知函數(shù)，（其中為常數(shù)）；

（Ⅰ）如果函數(shù)和有相同的極值點(diǎn)，求的值；

（Ⅱ）設(shè)，問是否存在，使得，若存在，請求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．

（Ⅲ）記函數(shù)，若函數(shù)有5個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

解：（I），則，

令，得或，而在處有極大值，∴，或；綜上：或．  

（II）假設(shè)存在，即存在，使得

，

當(dāng)時(shí)，又，故，則存在，使得，                        

 當(dāng)即時(shí)，得，； 

 當(dāng)即時(shí)，得，

無解；綜上：．                      

（III）據(jù)題意有有3個(gè)不同的實(shí)根，有2個(gè)不同的實(shí)根，且這5個(gè)實(shí)根兩兩不相等．

（�。�有2個(gè)不同的實(shí)根，只需滿足；

（ⅱ）有3個(gè)不同的實(shí)根，

當(dāng)即時(shí)，在處取得極大值，而，不符合題意，舍；

當(dāng)即時(shí)，不符合題意，舍；

當(dāng)即時(shí)，在處取得極大值，；所以；                                  

因?yàn)椋á。�（ⅱ）要同時(shí)滿足，故；（注：也對）

下證：這5個(gè)實(shí)根兩兩不相等，即證：不存在使得和同時(shí)成立；

若存在使得，

由，即，得，

當(dāng)時(shí)，，不符合，舍去；

當(dāng)時(shí)，既有   ①；

又由，即  ②；    聯(lián)立①②式，可得；

而當(dāng)時(shí)，沒有5個(gè)不同的零點(diǎn)，故舍去，所以這5個(gè)實(shí)根兩兩不相等．

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有5個(gè)不同的零點(diǎn)．