Question

設(shè)各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S₄=1，S₈=17．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）是否存在最小正整數(shù)m，使得當(dāng)n＞m時(shí)，an＜

2011

15

恒成立？若存在，求出m；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，由S₄=1，S₈=17知q≠1，
則

a1(1-q4)

1-q

=1，

a1(1-q8)

1-q

=17，相除得：

1-q8

1-q4

=17，解得q⁴=16，所以q=2或q=-2（舍去），
將q=2代入得a₁=

1

15

，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=

2n-1

15

；
（Ⅱ）由a_n=

2n-1

15

＜

2011

15

，得2^n-1＜2011，
而2¹⁰＜2011＜2¹¹，所以n-1≤10，即n≤11，
因此，不存在最小的正整數(shù)，使得n≥m時(shí)，a_n＞

2011

15

恒成立．