解:(1)
•
=2sin(
-A)sin(
+A)-1
=2sin(
-A)cos(
-A)-1
=sin(
-2A)-1=cos2A-1=-
,
∴cos2A=-
,
∵0<A<
,∴0<2A<π,∴2A=
,A=
設(shè)△ABC的外接圓半徑為R,由a=2RsinA得2
=2R×
,∴R=2
由b=2RsinB得sinB=
,又b<a,∴B=
,
∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=
•
+
•
=
,
∴△ABC的面積為S=
absinC=
•2
•2
•
=3+
.
(2)解法1:由a
2=b
2+c
2-2bccosA,得b
2+c
2-bc=12,
∴(b+c)
2=3bc+12≤3(
)
2+12,
∴(b+c)
2≤48,即b+c≤4
,(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào))
從而b+c的最大值為4
.
解法2:由正弦定理得:
=
=
=
=4,又B+C=π-A=
,
∴b+c=4(sinB+sinC)=4[sinB+sin(
-B)]=6sinB+2
cosB=4
sin(B+
),
∴當(dāng)B+
=
,即B=
時(shí),b+c取得最大值4
.
分析:(1)通過向量的數(shù)量積二倍角的余弦函數(shù),求出A的二倍角的余弦值,然后求出A.通過正弦定理求出R,然后求出三角形的面積.
(2)解法1:由余弦定理a
2=b
2+c
2-2bccosA,結(jié)合不等式求出b+c的最大值為4
.
解法2:由正弦定理得:
=
,利用兩角和與差的三角函數(shù),根據(jù)角的范圍,求出b+c的最大值.
點(diǎn)評(píng):本題考查正弦定理與余弦定理,三角形的面積公式,兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.