Question

10．傾斜角為θ的直線過離心率是$\frac{\sqrt{3}}{2}$的橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）右焦點F，直線與C交于A，B兩點，若$\overrightarrow{AF}$=7$\overrightarrow{FB}$，則θ=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，結合橢圓的第二定義列式求得答案．

解答 解：如圖，
設橢圓的右準線為l，過A，B作AM，BN垂直于l，
過B作BE垂直AM于E，
則|AM|=$\frac{|AF|}{e}$，BN=$\frac{|BF|}{e}$，由$\overrightarrow{AF}$=7$\overrightarrow{FB}$，得|AM|=7|BN|，
∴$cos∠BAE=\frac{|AE|}{|AB|}=\frac{6|BN|}{|AB|}$=$\frac{6|BN|}{8e|BN|}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴∠BAE=$\frac{π}{6}$；
當A在x軸上方時，同理可得$∠BAE=\frac{5π}{6}$．
故答案為：$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了數(shù)形結合的解題思想方法和數(shù)學轉化思想方法，是中檔題．