Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E為AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AN∥平面MEC；
（Ⅱ）在線段AM上是否存在點(diǎn)P，使二面角P﹣EC﹣D的大小為 ？若存在，求出AP的長h；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】解：（I）CM與BN交于F，連接EF．

由已知可得四邊形BCNM是平行四邊形，

所以F是BN的中點(diǎn)．

因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，

所以AN∥EF．

又EF平面MEC，AN平面MEC，

所以AN∥平面MEC．

（II）由于四邊形ABCD是菱形，E是AB的中點(diǎn)，可得DE⊥AB．

又四邊形ADNM是矩形，面ADNM⊥面ABCD，

∴DN⊥面ABCD，

如圖建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，

則D（0，0，0），E（ ，0，0），C（0，2，0），P（ ，﹣1，h），

=（ ，﹣2，0）， =（0，﹣1，h），

設(shè)平面PEC的法向量為 =（x，y，z）．

則 ，∴ ，

令y= h，∴ =（2h， h， ），

又平面ADE的法向量 =（0，0，1），

∴cos＜ ， ＞= = = ，解得h= ，

∴在線段AM上是否存在點(diǎn)P，當(dāng)h= 時(shí)使二面角P﹣EC﹣D的大小為 ．

【解析】（I）利用CM與BN交于F，連接EF．證明AN∥EF，通過直線與平面平行的判定定理證明AN∥平面MEC；

（II）對(duì)于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)x在線段AM上是否存在點(diǎn)P，使二面角P﹣EC﹣D的大小為 ．再通過建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法進(jìn)行求解判斷．

【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用直線與平面平行的判定，掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此面平行；簡記為：線線平行，則線面平行即可以解答此題．