Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到直線y=1的距離比它到點(diǎn)F（0，

1

4

）的距離大

3

4

．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)P的軌跡上不存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l：y=m（x-3）對(duì)稱，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）轉(zhuǎn)化題中的條件，應(yīng)用拋物線的定義求出點(diǎn)P的軌跡方程．
（Ⅱ）假設(shè)點(diǎn)P的軌跡上點(diǎn)A，B關(guān)于直線l對(duì)稱，利用中點(diǎn)在對(duì)稱軸上及斜率間的關(guān)系和判別式大于0，得到實(shí)數(shù)m的取值范圍，再把此范圍在實(shí)數(shù)集內(nèi)取補(bǔ)集．

解答：解：：（Ⅰ）據(jù)題意可知，點(diǎn)P到直線y=-

1

4

的距離等于它到點(diǎn)F（0，

1

4

）的距離，
所以點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)F（0，

1

4

）為交點(diǎn)，直
線y=-

1

4

為準(zhǔn)線的拋物線．（3分）
因?yàn)閜=

1

2

，拋物線開口向上，故
點(diǎn)P的軌跡方程是x²=y．
（Ⅱ）若m=0，則直線l為x軸，
此時(shí)拋物線x²=y與直線l相切．
若m≠0，設(shè)與直線l垂直的直線為l′：y=-

1

m

x+b，
代入y=x²，得x²+

1

m

x-b=0（*）
設(shè)直線l′與拋物線的交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁=x₂=-

1

m

，
從而y₁+y₂=-

1

m

（x₁+x₂）+2b=

1

m2

+2b．
假設(shè)點(diǎn)A，B關(guān)于直線l對(duì)稱，
則AB的中點(diǎn)（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

）在l上，
所以

1

2m2

+b=m（

-1

2m

-3），
即b=-

1

2

-3m-

1

2m2

．
由于方程（*）有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則△=(

1

m

)2+4b＞0．
所以(

1

m

)2+4（-

1

2

-3m-

1

2m2

）＞0，
整理得12m³+2m²+1＜0，
即（2m+1）（6m²-2m+1）＜0．
由6m²-2m+1=6(m-

1

6

)2+

5

6

＞0恒成立，
所以2m+1＜0，
即m＜-

1

2

．
所以當(dāng)m＜-

1

2

時(shí)，拋物線上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱．
故當(dāng)拋物線y=x²上不存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l：y=m（x-3）對(duì)稱時(shí)，
實(shí)數(shù)m的取值范圍是[

1

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查用定義法求軌跡方程，直線與拋物線的位置關(guān)系綜合應(yīng)用，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．