設(shè)a1,a2,…,a2n+1均為整數(shù),性質(zhì)P為:對a1,a2,…,a2n+1中任意2n個數(shù),存在一種分法可將其分為兩組,每組n個數(shù),使得兩組所有元素的和相等求證:a1,a2,…,a2n+1全部相等當且僅當a1,a2,…,a2n+1具有性質(zhì)P.
【答案】分析:先證 a1,a2,…,a2n+1全部相等時,性質(zhì)P成立.
再證 當a1,a2,…,a2n+1具有性質(zhì)P時,a1,a2,…,a2n+1全部相等,用反證法,假設(shè)要證結(jié)論的反面成立,
推出與性質(zhì)P相矛盾的結(jié)論,可得假設(shè)不成立.
解答:證明:①當a1,a2,…,a2n+1全部相等時,從中任意2n個數(shù),將其分為兩組,每組n個數(shù),兩組所有元素的和相等,
故性質(zhì)P成立.
②下面證明:當a1,a2,…,a2n+1具有性質(zhì)P時,a1,a2,…,a2n+1全部相等.反證法:
假設(shè)a1,a2,…,a2n+1不全部相等,則其中至少有一個整數(shù)和其它的整數(shù)不同,不妨設(shè)此數(shù)為a1,
若a1在取出的2n個數(shù)中,將其分為兩組,每組n個數(shù),則a1在的那個組所有元素的和與另一個組所有元素的和不相等,
這與性質(zhì)P 矛盾,故假設(shè)不成立,
所以,當a1,a2,…,a2n+1具有性質(zhì)P時,a1,a2,…,a2n+1全部相等.
綜上,a1,a2,…,a2n+1全部相等當且僅當a1,a2,…,a2n+1具有性質(zhì)P.
點評:本題考查充要條件的定義,用反證法證明命題的方法和步驟.