已知橢圓的兩個焦點分別為，離心率。

（1）求橢圓方程；

（2）一條不與坐標軸平行的直線l與橢圓交于不同的兩點M、N，且線段MN中點的橫坐標為–，求直線l傾斜角的取值范圍。

 

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設橢圓方程為

由已知，，由解得a=3，   

∴為所求 

（Ⅱ）解法一：設直線l的方程為y=kx+b(k≠0)

解方程組

將①代入②并化簡，得 

       

將④代入③化簡后，得。                           

解得   ∴ ， 所以傾斜角  。                            

解法二：（點差法）設的中點為在橢圓內，且直線l不與坐標軸平行。

因此，，

∵，

∴兩式相減得 

即  

∴。所以傾斜角

考點：本題主要考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系。

點評：典型題，涉及直線與橢圓的位置關系問題，通過聯(lián)立方程組得到一元二次方程，應用韋達定理可實現(xiàn)整體代換，簡化解題過程。涉及橢圓上兩點問題，可以利用“點差法”，建立連線的斜率與a,b的關系。

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的兩個焦點分別是F1(0，-2
2
)，F2(0，2
2
)，離心率e=
2
2
3
．
（1）求橢圓的方程；
（2）一條不與坐標軸平行的直線l與橢圓交于不同的兩點M，N，且線段MN中點的橫坐標為-
1
2
，求直線l的傾斜角的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求下列各曲線的標準方程．
（1）已知橢圓的兩個焦點分別是（-2，0），（2，0），并且經過點（
5
2
，-
3
2
）．
（2）已知拋物線焦點在x軸上，焦點到準線的距離為6．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012年山東省高考模擬預測卷（四）文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

給定橢圓：  ，稱圓心在坐標原點，半徑為的圓是橢圓的“伴隨圓”． 已知橢圓的兩個焦點分別是，橢圓上一動點滿足．

（Ⅰ）求橢圓及其“伴隨圓”的方程；

（Ⅱ）過點P作直線,使得直線與橢圓只有一個交點，且截橢圓的“伴隨圓”所得的弦長為．求出的值．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年廣東省汕頭市高三第一次模擬考試數(shù)學理卷 題型：解答題

（（本小題滿分14分）

給定橢圓：  ，稱圓心在坐標原點，半徑為的圓是橢圓的“伴隨圓”． 已知橢圓的兩個焦點分別是，橢圓上一動點滿足．

（Ⅰ）求橢圓及其“伴隨圓”的方程

（Ⅱ）試探究y軸上是否存在點(0, )，使得過點作直線與橢圓只有一個交點，且截橢圓的“伴隨圓”所得的弦長為．若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由。

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年廣東省汕頭市高三第一次模擬考試數(shù)學文卷 題型：解答題

（本小題滿分14分）

給定橢圓：  ，稱圓心在坐標原點，半徑為的圓是橢圓的“伴隨圓”． 已知橢圓的兩個焦點分別是，橢圓上一動點滿足．

(Ⅰ) 求橢圓及其“伴隨圓”的方程；

（Ⅱ） 過點P作直線,使得直線與橢圓只有一個交點，且截橢圓的“伴隨圓”所得的弦長為．求出的值．

 

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