Question

已知數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n，且滿足4S_n=（a_n+1）²
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=

1

an•an+1

，數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和為T_n，求T_n的最小值．

Answer 1

分析：（1）由4S_n=（a_n+1）²，得4S_n+1=（a_n+1+1）²，兩者作差，研究{a_n}的相鄰項(xiàng)的關(guān)系，由此關(guān)系求其通項(xiàng)即可．
（2）由（1）可得bn=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)•[2(n+1)-1]

=

1

2

×(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，裂項(xiàng)求和即可．

解答：解：（1）由題設(shè)條件知4S_n=（a_n+1）²，得4S_n+1=（a_n+1+1）²，兩者作差，得4a_n+1=（a_n+1+1）²-（a_n+1）²．
整理得（a_n+1-1）²=（a_n+1）²．
又?jǐn)?shù)列{a_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，所以a_n+1-1=a_n+1，即a_n+1=a_n+2，
故數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，公差為2，又4S₁=4a₁=（a₁+1）²，解得a₁=1，故有a_n=2n-1
（2）由（1）可得bn=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)•[2(n+1)-1]

=

1

2

×(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴T_n=

1

2

×(

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

×(1-

1

2n+1

)
由其形式可以看出，T_n關(guān)于n遞增，故其最小值為T₁=

1

3

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列求和，求解的關(guān)鍵是根據(jù)其通項(xiàng)的形式將其項(xiàng)分為兩項(xiàng)的差，采用裂項(xiàng)求和的技巧求和，在裂項(xiàng)時(shí)要注意分母上兩個(gè)因子相差2不是1，故裂項(xiàng)后應(yīng)乘以

1

2

，此是裂項(xiàng)時(shí)空間出錯(cuò)的地方．