Question

已知a＞0，函數(shù)f(x)=

1-ax

x

，x∈(0，+∞)．設(shè)0＜x1＜

2

a

，記曲線y=f（x）在點(diǎn)M（x₁，f（x₁））處的切線為l．
（Ⅰ）求l的方程；
（Ⅱ）設(shè)l與x軸交點(diǎn)為（x₂，0）．證明：
①0＜x2≤

1

a

；
②若x1＜

1

a

，則x1＜x2＜

1

a

．

Answer 1

分析：（I）欲求切線l的方程，則須求出它的斜率，根據(jù)切線斜率的幾何意義便不難發(fā)現(xiàn)，問題歸結(jié)為求曲線y=f（x）在點(diǎn)M（x₁，f（x₁））的一階導(dǎo)數(shù)值．
（Ⅱ）①要求x₂的變化范圍，則須找到使x₂產(chǎn)生變化的原因，顯然，x₂變化的根本原因可歸結(jié)為x₁的變化，因此，找到x₂與x₁的等量關(guān)系式，就成；②欲比較x₂與x₁的大小關(guān)系，判斷它們的差的符號(hào)即可．

解答：解：（I）求f（x）的導(dǎo)數(shù)：f′(x)=-

1

x2

，由此得切線l的方程：y-(

1-ax1

x1

)=-

1

x2

(x-x1)．
（II）證：依題意，切線方程中令y=0，x2=x1(1-ax1)+x1=x1(2-ax1)，其中0＜x1＜

2

a

．
①由0＜x1＜

2

a

，x2=x1(2-ax1)，有x2＞0，及x2=-a(x1-

1

a

)2+

1

a

∴0＜x2≤

1

a

，當(dāng)且僅當(dāng)x1=

1

a

時(shí)，x2=

1

a

．
②當(dāng)x1＜

1

a

時(shí)，ax1＜1，因此，x2=x1(2-ax1)＞x1，且由①，x2＜

1

a

所以x1＜x2＜

1

a

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線的方法，考查不等式的基本性質(zhì)，以及分析和解決問題的能力．