Question

已知橢圓的對稱軸為坐標軸，左、右兩個焦點分別為F₁、F₂，且拋物線y²=4

3

x與該橢圓有一個共同的焦點，點P在橢圓C上，且PF₂⊥F₁F₂，|PF₁|=

7

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)D（

3

2

，0），過F₂且不垂直于坐標軸的動直線l交橢圓C于A、B兩點，若以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導出c=

3

，|F₁F₂|=2

3

，從而得到|PF₂|=

1

2

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB為：y=k（x-

3

），聯(lián)立

x2 4 +y2=1 y=k(x- 3 )

，得(1+4k2)x2-8

3

k2x+12k2-4=0，由此利用韋達定理結(jié)合已知條件能求出直線l的方程．

解答： 解：（1）∵拋物線y²=4

3

x的焦點坐標F（

3

，0），∴c=

3

，
∴|F₁F₂|=2

3

，
∵|PF₁|=

7

2

，PF₂⊥F₁F₂，
∴|PF₂|=

( 7 2 )2-(2 3 )2

=

1

2

，
∴2a=|PF₁|+|PF₂|=4，∴b=

22-( 3 )2

=1，
∴橢圓C的方程為：

x2

4

+y2=1．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB為：y=k（x-

3

），
聯(lián)立

x2 4 +y2=1 y=k(x- 3 )

，
消去y，并整理，得(1+4k2)x2-8

3

k2x+12k2-4=0，
x1+x2=

8 3 k2

1+4k2

，
y1+y2=k(

x

1

+x2)-2

3

k=-

2 3

1+4k2

，
∵AD=BD，
∴(x1-

3

2

)2+y12=(x2-

3

2

)2+y22，

y2-y1

x2-x1

=-

x1+x2- 3

y1+y2

=

4k2-1

2k

=k，
解得k=±

2

2

，
∴直線AB為y=±

2

2

（x-

3

）．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，考查推理論證能力，考查綜合應用能力，解題時要熟練掌握橢圓性質(zhì)．