Question

【題目】已知y=f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）=x（2﹣x），
（1）寫(xiě)出函數(shù)y=f（x）在x∈（﹣∞，0）時(shí)的解析式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=a恰有兩個(gè)不同的解，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，﹣x∈（0，+∞），

∵y=f（x）是奇函數(shù)，

∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[（﹣x）（2+x）]=x（x+2）

（2）解：由（1）得：f（x）= ．

當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，最大值為1；

∴當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，f（x）=x2+2x=（x+1）2﹣1，最小值為﹣1．

∴據(jù)此可作出函數(shù)y=f（x）的圖象，根據(jù)圖象得，

若方程f（x）=a恰有2個(gè)不同的解，則a=±1

【解析】（1）由奇函數(shù)的定義當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，﹣x∈（0，+∞）即f（x）=﹣f（﹣x）=x（x+2）。（2）根據(jù)題意得到分段函數(shù)，再利用二次函數(shù)的最值求出兩個(gè)極值，故可得當(dāng)f（x）=a恰有2個(gè)不同的解時(shí)a=±1
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，需要了解在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇才能得出正確答案．