Question

（2012•許昌一模）已知a＞0，則f（x）=lg（ax²-bx-c）的值域為R的充要條件是（　　）

A．?x₀∈R，ax₀²≥bx₀+c

B．?x₀∈R，ax₀²≤bx₀+c

C．?x∈R，ax²≥bx+c

D．?x∈R，ax²≤bx+c

Answer 1

分析：已知a＞0，則f（x）=lg（ax²-bx-c）的值域為R，就是g（x）=ax²+ax+1的值域為[0，+∞），本題中函數f（x）=lg（ax²-bx-c）的值域為R故內層函數的定義域不是全體實數，可由△≥0保障 f（x）=lg（ax²-bx-c）的值域為R定義域不是全體實數，從而求出a的范圍；

解答：解：a＞0，則f（x）=lg（ax²-bx-c）的值域為R，令g（x）=ax²-bx-c，
∴g（x）=ax²-bx-c的值域為[0，+∞），
∴△=（-b）²-4a（-c）=b²+4ac≥0，
說明方程ax²-bx-c=0，有實數根，
與x軸有交點，也即?x₀∈R，ax₀²-bx₀-c≤0，
若?x₀∈R，ax₀²≤bx₀+c，說明存在x₀使得g（x）=ax²-bx-c＜0，又a＞0，開口向上，
g（x）與x軸有交點，可得△≥0，
所以f（x）=lg（ax²-bx-c）的值域為R，
故f（x）=lg（ax²-bx-c）的值域為R的充要條件是：?x₀∈R，ax₀²≤bx₀+c，
故選B；

點評：本題考查二次函數的性質，難點在于對g（x）=ax²-bx-c的值域為[0，+∞）的理解與應用，常與函數f（x）=lg（ax²-bx-c）的定義域為R相混淆，也是易錯點，屬于中檔題．