Question

已知圓C：（x-a）²+（y-a）²=1（a∈R）．
（Ⅰ） 設(shè)直線l：2x-y-1=0被圓C截得的線段長(zhǎng)為

3

，求a的值；
（Ⅱ） 設(shè)A=（x，y）||x|≤1，|y|≤1，x，y∈R，記圓C及其內(nèi)部所構(gòu)成的點(diǎn)集為B．當(dāng)a=

3

2

時(shí)，求點(diǎn)集A∩B所構(gòu)成的圖形的面積S．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知得圓心C到直線l的距離為d=

1-( 3 2 )2

=

1

2

，

|2a-a-1|

5

=

1

2

，由此能夠求出a；
（Ⅱ）由已知，A表示正方形及其內(nèi)部，故A∩B為弧AB與線段AM、BM所圍成的圖形．由此能夠求出點(diǎn)集A∩B所構(gòu)成的圖形的面積S．

解答：解：（Ⅰ）由已知得圓心C到直線l的距離為d=

1-( 3 2 )2

=

1

2

，
∴

|2a-a-1|

5

=

1

2

?a=1±

5

2

；（5分）
（Ⅱ）由已知，A表示如圖所示的正方形及其內(nèi)部，
故A∩B為弧AB與線段AM、BM所圍成的圖形．
易知∠AMC=

3

4

π，|CM|=

3

2

2

-

2

=

2

2

，|CA|=1．
在△AMC中，由正弦定理，得

|AC|

sin∠AMC

=

|CM|

sin∠CAM

?sin∠CAM=

1

2

?∠CAM=

π

6

，
又∠AMC=

3

4

π，從而∠ACM=

π

12

，∴∠ACB=

π

6

．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
故S扇形ACB=

1

2

×12×

π

6

=

π

12

，而S△AMC=

1

2

×1×

2

2

×sin

π

12

=

3 -1

8

，
∴S=S扇形ACB-2S△AMC=

π

12

-

3 -1

4

=

1

12

(π+3-3

3

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意直線和圓的位置關(guān)系，合理地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想．