Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-x²．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)y=f（x）在[

1

2

，2]上的最大值；
（2）令g（x）=f（x）+ax，若y=g（x）在區(qū)讓?zhuān)?，3）上不單調(diào)，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)h（x）=f（x）-mx的圖象與x軸交于兩點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0），且0＜x₁＜x₂，又y=h′（x）是y=h（x）的導(dǎo)函數(shù)．若正常數(shù)α，β滿(mǎn)足條件α+β=1，β≥α．證明h′（αx₁+βx₂）＜0．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=2時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求得函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)y=f（x）在[

1

2

，2]上的最大值．
（2）先求得g′(x)=

a

x

-2x+a，因?yàn)間（x）在區(qū)間（0，3）上不單調(diào)，所以g'（x）=0在（0，3）上有實(shí)數(shù)解，且無(wú)重根．由g'（x）=0，求得a=

2x2

x+1

=2(x+1+

1

x+1

)-4∈(0，

9

2

)，由此可得a的范圍．
（3）由題意可得，f（x）-mx=0有兩個(gè)實(shí)根x₁，x₂，化簡(jiǎn)可得m=

2(lnx1-lnx2)

x1-x2

-(x1+x2)．可得h′（αx₁+βx₂）=

2

αx1+βx2

-

2(lnx1-lnx2)

x1-x2

+(2α-1)(x2-x1)，由條件知（2α-1）（x₂-x₁）≤0，再用分析法證明h′（αx₁+βx₂）＜0．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=alnx-x² ，可得當(dāng)a=2時(shí)，f′(x)=

2

x

-2x=

2-2x2

x

，…（2分）
故函數(shù)y=f（x）在[

1

2

，1]是增函數(shù)，在[1，2]是減函數(shù)，
所以f(x)max=f(1)=2ln1-12=-1．  …（4分）
（2）因?yàn)間（x）=alnx-x²+ax，所以g′(x)=

a

x

-2x+a．…（5分）
因?yàn)間（x）在區(qū)間（0，3）上不單調(diào)，所以g'（x）=0在（0，3）上有實(shí)數(shù)解，且無(wú)重根，
由g'（x）=0，有a=

2x2

x+1

=

(x+1)2-2(x+1)+1

x+1

=2(x+1+

1

x+1

)-4∈(0，

9

2

)，（x∈（0，3）），…（6分）
綜上可得，a∈(0，

9

2

)．…（8分）
（3）由題意可得，h′(x)=

2

x

-2x-m，又f（x）-mx=0有兩個(gè)實(shí)根x₁，x₂，
∴

2lnx1- x 2 1 -mx1=0 2lnx2- x 2 2 -mx2=0

，兩式相減，得2(lnx1-lnx2)-(x12-

x

2 2

)=m(x1-x2)，
∴m=

2(lnx1-lnx2)

x1-x2

-(x1+x2)．…（10分）
于是h′(αx1+βx2)=

2

αx1+βx2

-2(αx1+βx2)-

2(lnx1-lnx2)

x1-x2

+(x1+x2)=

2

αx1+βx2

-

2(lnx1-lnx2)

x1-x2

+(2α-1)(x2-x1)．  …（11分）
∵β≥α，∴2α≤1，∴（2α-1）（x₂-x₁）≤0．
要證：h′（αx₁+βx₂）＜0，只需證：

2

αx1+βx2

-

2(lnx1-lnx2)

x1-x2

＜0，
只需證：

x1-x2

αx1+βx2

-ln

x1

x2

＞0．（*）  …（12分）
令

x1

x2

=t∈(0，1)，∴（*）化為 

1-t

αt+β

+lnt＜0，只證u(t)=lnt+

1-t

αt+β

＜0即可．…（13分）
∵u′(t)=

1

t

+

-(αt+β)-(1-t)α

(αt+β)2

=

1

t

-

1

(αt+β)2

=

(αt+β)2-t

t(αt+β)2

=

α2(t-1)(t- β2 α2 )

t(αt+β)2

，…（14分）
又∵

β2

α2

≥1，0＜t＜1，∴t-1＜0，∴u′（t）＞0，∴u（t）在（0，1）上單調(diào)遞增，…（15分）
故有 u（t）＜u（1）=0，∴lnt+

1-t

αt+β

＜0，即

x1-x2

αt+β

+ln

x1

x2

＜0．
∴h′（αx₁+βx₂）＜0．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，用分析法證明不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．