Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}，其前n項(xiàng)和S_n滿足10S_n=

a

2 n

+5a_n+6，且a₃＜13．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（2）令bn=

1

2an+3+1

，求證：b₁+b₂+…+b_n＜

1

31

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由10S_n=

a

2 n

+5a_n+6，利用遞推式可得a_n-a_n-1=5，當(dāng)n=1時(shí)，10a1=

a

2 1

+5a1+6，解得a₁=2或3，通過驗(yàn)證可得a₁=2，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n．
（2）由b_n=

1

25n+1

=

1

32n+1

＜

1

32n

．再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可證明．

解答： （1）解：∵10S_n=

a

2 n

+5a_n+6，∴當(dāng)n≥2時(shí)，10Sn-1=

a

2 n-1

+5a_n-1+6，∴10an=

a

2 n

+5an-

a

2 n-1

-5an-1，
化為（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-5）=0，∴a_n-a_n-1=5，
當(dāng)n=1時(shí)，10a1=

a

2 1

+5a1+6，解得a₁=2或3，
若a₁=3，則a₂=8，a₃=13，不滿足a₃＜13，舍去．
若a₁=2，則a₂=7，a₃=12，滿足a₃＜13．
∴a₁=2．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為5，
∴a_n=2+5（n-1）=5n-3．
（2）證明：b_n=

1

2an+3+1

=

1

25n+1

=

1

32n+1

＜

1

32n

．
∴b₁+b₂+…+b_n＜

1

32

+

1

322

+…+

1

32n

=

1 32 (1- 1 32n )

1- 1 32

=

1

31

(1-

1

32n

)＜

1

31

．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推式的應(yīng)用，考查了變形能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．