Question

將函數(shù)f（x）=e^x展開為x的冪級數(shù)，并求出收斂區(qū)間．（e=2.718為自然對數(shù)的底）

Answer 1

【答案】分析：利用基本初等函數(shù)的導數(shù)個數(shù)求出f（x）的各階導數(shù)相同，利用冪級數(shù)的定義找到它的收斂區(qū)間．
解答：解：∵f（x）=e^x，
∴f′（x）=f″（x）=fⁿ（x）=e^x
∴f（0）=f′（0）=f″（0）=fⁿ（0）=1
函數(shù)在區(qū)間-r≤x≤r上有|fⁿ（x）|=|e^x|≤e^r（n=1，2）
所以函數(shù)e^x可以在區(qū)間[-r，r]上展開成冪級數(shù)，
因為r＞0是任意的，
所以，函數(shù)e^x在區(qū)間（-∞，+∞）上可展成冪級數(shù)，
特別的它的馬克勞林級數(shù)是．
點評：本題考查基本初等函數(shù)的個數(shù)、考查冪級數(shù)及收斂區(qū)間的定義．