Question

已知函數(shù)f(x)＝e^2x－ax(a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù))．

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若a＝1，函數(shù)g(x)＝(x－m)f(x)－e^2x＋x²＋x在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數(shù)，求整數(shù)m的最大值．

Answer 1

解：(1)定義域?yàn)?－∞，＋∞), f ′(x)＝e^2x－a，

當(dāng)a≤0時(shí)，f ′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上為增函數(shù)；

當(dāng)a>0時(shí)，由f ′(x)＝0得x＝，且當(dāng)x∈時(shí)， f ′(x)<0，

當(dāng)x∈時(shí)f ′(x)>0，

所以f(x)在為減函數(shù)，在為增函數(shù)．

(2)當(dāng)a＝1時(shí)，g(x)＝(x－m) －e^2x＋x²＋x，

若g(x)在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數(shù)，

則g′(x)＝(x－m)(e^2x－1)＋x＋1≥0在(0，＋∞)恒成立，

即m≤＋x在(0，＋∞)恒成立．

令h(x)＝＋x，x∈(0，＋∞)；

h′(x)＝，x∈(0，＋∞)；

令L(x)＝e^2x－2x－3，

可知L＝e－4<0，L(1)＝e²－5>0，

又當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)L′(x)＝2e^2x－2>0，

所以函數(shù)L(x)＝e^2x－2x－3在x∈(0，＋∞)只有一個(gè)零點(diǎn)，

設(shè)為α，即e^2α＝2α＋3，且α∈；

由上可知當(dāng)x∈(0，α)時(shí)L(x)<0，即h′(x)<0；

當(dāng)x∈(α，＋∞)時(shí)L(x)>0，即h′(x)>0，

所以h(x)＝＋x，x∈(0，＋∞)，有最小值h(α)＝＋α，

把e^2α＝2α＋3代入上式可得h(α)＝＋α，又因?yàn)?i>α∈，所以h(α)∈，

又m≤h(x)恒成立，所以m≤h(α)，又因?yàn)?i>m為整數(shù)，

所以m≤1，所以整數(shù)m的最大值為1.