【題目】已知定義在實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足.
(1)求與的解析式;
(2)求證:在區(qū)間上單調(diào)遞增;并求在區(qū)間的反函數(shù);
(3)設(shè)(其中為常數(shù)),若對(duì)于恒成立,求的取值范圍.
【答案】(1),;(2)見解析,,;(3)
【解析】
(1)利用函數(shù)的奇偶性構(gòu)造,解出兩個(gè)函數(shù)的解析式;
(2)由(1)可知,利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性,令,整理為,解得,再求反函數(shù);
(3)在單調(diào)遞增,∴, 對(duì)于恒成立,然后利用參變分離為對(duì)于恒成立,求的取值范圍.
(1)①,
因?yàn)?/span>是偶函數(shù),是奇函數(shù),所以有,即②
∵,定義在實(shí)數(shù)集上,
由①和②解得,,.
(2),當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.對(duì)于任意,,
因?yàn)?/span>,所以,,,,,,
從而,所以當(dāng)時(shí),遞增.
設(shè),則,令,則.再由解得,即.
因?yàn)?/span>,所以,
因此的反函數(shù),.
(3)∵在單調(diào)遞增,∴.
∴對(duì)于恒成立,∴對(duì)于恒成立,
令,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,且,
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減,∴,
∴為的取值范圍.
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【題目】若X是一個(gè)集合,是一個(gè)以X的某些子集為元素的集合,且滿足:①X屬于,屬于;②中任意多個(gè)元素的并集屬于;③中任意多個(gè)元素的交集屬于.則稱是集合X上的一個(gè)拓?fù)?/span>.已知集合,對(duì)于下面給出的四個(gè)集合:
①;
②;
③;
④.
其中是集合X上的拓?fù)涞募?/span>的序號(hào)是________.
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【題目】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,
(1)求的值,并求出及數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)求數(shù)列的前n項(xiàng)和
(3)設(shè)在數(shù)列中取出(為常數(shù))項(xiàng),按照原來的順序排成一列,構(gòu)成等比數(shù)列.若對(duì)任意的數(shù)列,均有試求的最小值.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,將直線l沿x軸正方向平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,沿y軸正方向平移5個(gè)單位長(zhǎng)度,得到直線l1.再將直線l1沿x軸正方向平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,沿y軸負(fù)方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,又與直線l重合.若直線l與直線l1關(guān)于點(diǎn)(2,3)對(duì)稱,則直線l的方程是________________.
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【題目】設(shè)和是雙曲線上的兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,直線不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)若直線和直線的斜率都存在且分別為和,求證:;
(2)若雙曲線的焦點(diǎn)分別為、,點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線的斜率為,求由四點(diǎn)、、、所圍成四邊形的面積.
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【題目】數(shù)列滿足,且.
(1)求、、;
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)令,求數(shù)列的最大值與最小值.
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【題目】如圖,四棱柱中,是棱上的一點(diǎn),平面,,,.
(1)若是的中點(diǎn),證明:平面平面;
(2)若,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為,且點(diǎn)在橢圓上.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)當(dāng)點(diǎn)在橢圓的圖像上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng),求曲線的軌跡方程,并指出該曲線是什么圖形;
(3)過橢圓上異于其頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作曲線的兩條切線,切點(diǎn)分別為不在坐標(biāo)軸上),若直線在軸,軸上的截距分別為試問:是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請(qǐng)說明理由.
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【題目】如圖所示,直四棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為,底面是邊長(zhǎng)的矩形,為的中點(diǎn),
(1)求證:平面,
(2)求異面直線與所成的角的大。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示).
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