Question

7．已知：矩形AA₁B₁B，且AB=2AA₁=2，C₁，C分別是A₁B₁、AB的中點(diǎn)，D為C1C中點(diǎn)，將矩形AA₁B₁B沿著直線(xiàn)C₁C折成一個(gè)60°的二面角，如圖所示．
（1）求證：AB₁⊥A₁D；
（2）求二面角B-A₁D-B₁的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AB、A₁B₁，則可證明幾何體ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱．取BC中點(diǎn)O，B₁C₁的中點(diǎn)O₁，連結(jié)OA，OO₁，以O(shè)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，利用向量法能證明AB₁⊥A₁D；
（2）求出平面A₁B₁D的法向量和平面A₁BD的法向量，利用向量法能求出二面角B-A₁D-B₁的正弦值．

解答 證明：（1）連結(jié)AB、A₁B₁，
∵C₁，C分別是矩形A₁ABB₁邊A₁B₁、AB的中點(diǎn)，
∴AC⊥CC₁，BC⊥CC₁，AC∩BC=C
∴CC₁⊥面ABC
∴∠ACB為二面角A-CC'-A'的平面角，則∠ACB=60°．
∴△ABC為正三角形，即幾何體ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱．
取BC中點(diǎn)O，B₁C₁的中點(diǎn)O₁，連結(jié)OA，OO₁，則OA⊥平面BB₁C₁C，
OO₁⊥BC．
以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)B，OO₁，OA的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，$\sqrt{3}$），B₁（1，2，0），D（-1，1，0），
A₁（0，2，$\sqrt{3}$）．
∴$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（1，2，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（-1，-1，-$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{A{B}_{1}}$•$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=1×（-1）+2×（-1）+（-$\sqrt{3}$）×（-$\sqrt{3}$）=0，
∴AB₁⊥A₁D．
（Ⅱ）B（1，0，0），$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=（1，0，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（1，-2，-$\sqrt{3}$），
設(shè)平面A₁B₁D的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）．
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}=x-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=-x-y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-2$\sqrt{3}$，1），
設(shè)平面BA₁D的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=a-2b-\sqrt{3}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=-a-b-\sqrt{3}c=0}\end{array}\right.$，
取c=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（-1，-2，$\sqrt{3}$），
設(shè)二面角B-A₁D-B₁的平面角為θ，
則cosθ=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{4\sqrt{3}}{4×2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
sinθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{6}}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$．
∴二面角B-A₁D-B₁的正弦值為$\frac{\sqrt{10}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)線(xiàn)垂直的證明，考查二面角的正弦值的求不地，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．