Question

在四棱錐P-ABCD中，△PAB是邊長為2的正三角形，底面ABCD為菱形，O為AB的中點，且PO⊥平面ABCD，OD與AC交于點F，E為PD上一點，且PD=3PE．
（1）求證：平面ACE⊥平面ABCD；
（2）若∠ABC=60°，求異面直線AB與CE所成角的余弦值．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）首先根據已知條件，通過成比例得到EF∥PO，另因為PO⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD．
，進一步求得結果．
（2）利用（1）的結論進一步把異面直線的夾角進行轉化成CD與CE所成的角．進一步利用所求的線段長，利用余弦定理求出結果．

解答： 證明：（1）連接EF，由于在平面ABCD中，AC和OD相交于F，
已知△PAB是邊長為2的正三角形，底面ABCD為菱形，O為AB的中點，
根據平行線分線段成比例定理：

DF

OF

=

CD

OA

=

2

1

由于：PD=3PE．
則：

OF

FD

=

PE

ED

=

1

2

所以：EF∥PO，
PO⊥平面ABCD，
所以：EF⊥平面ABCD．
EF?平面ACE
所以：平面ACE⊥平面ABCD．
（2）在△AOD中，
已知：∠ABC=60°，
則：∠BAD=120°
進一步求出：OP=

3

，OD=2，OA=1
利用余弦定理：DO²=AO²+AD²-2AO•ADcos∠OAD
解得：DO=

7

由：△PAB是邊長為2的正三角形
解得：PO=

3

所以：PD=

10

進一步解得：DE=

2 10

3

由題意得：AC=2，
根據比例的關系進一步求得：CF=

4

3

，EF=

2 3

3

，
利用EF⊥平面ABCD．
所以：CE²=EF²+CF²
解得：CE=

2 7

3

由于：AB∥CD，
則：異面直線AB與CE所成角即是CD與CE所成的角．
在△CED中，利用余弦定理：cos∠ECD=

CE2+CD2-DE2

2CE•CD

解得：cos∠ECD=

13 7

21

所以：異面直線AB與CE所成角的余弦值為

13 7

21

．

點評：本題考查的知識要點：線面垂直與面面垂直之間的轉化，解三角形知識，勾股定理的應用，平行線分線段成比例定理，異面直線的夾角問題．屬于基礎題型．