Question

（本題10分）已知，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是曲線(xiàn)，直線(xiàn)：與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn).（1）求曲線(xiàn)的方程；

（2）若，求實(shí)數(shù)的值；

（3）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與垂直，且直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（1）曲線(xiàn)的方程為；（2）。

（3）當(dāng)時(shí)，四邊形面積有最大值7.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)為曲線(xiàn)上任一點(diǎn)，則由，化簡(jiǎn)整理得。

（2）因?yàn)楦鶕?jù)向量的關(guān)系式，，所以，所以圓心到直線(xiàn)的距離，所以 

（3）對(duì)參數(shù)k，分情況討論，當(dāng)時(shí)，,

當(dāng)時(shí)，圓心到直線(xiàn)的距離，所以

，同理得|PQ|，求解四邊形的面積。

解：（1）設(shè)為曲線(xiàn)上任一點(diǎn)，則由，化簡(jiǎn)整理得。

曲線(xiàn)的方程為              --------------3分 

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013022809422763534653/SYS201302280943085728422635_DA.files/image008.png">，所以，

所以圓心到直線(xiàn)的距離，所以。   -----6分

（3）當(dāng)時(shí)，,

當(dāng)時(shí)，圓心到直線(xiàn)的距離，所以

，同理得

所以

=7當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。

所以當(dāng)時(shí)，

綜上，當(dāng)時(shí)，四邊形面積有最大值7.           --11

考點(diǎn)：本題主要是考查軌跡方程的求解，已知直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是設(shè)出所求點(diǎn)滿(mǎn)足的關(guān)系式，化簡(jiǎn)得到軌跡方程，同時(shí)利用聯(lián)立方程組的思想得到長(zhǎng)度和面積的表示。