Question

設(shè)點(diǎn)F（1，0），動(dòng)圓P經(jīng)過點(diǎn)F且和直線x=-1相切．記動(dòng)圓的圓心P的軌跡為曲線W．
（Ⅰ）求曲線W的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)M（0，2）的直線l與曲線W交于A、B兩點(diǎn)，且直線l與x軸交于點(diǎn)C，設(shè)

MA

=α

AC

，

MB

=β

BC

，求證：α+β為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）由拋物線定義得：P點(diǎn)軌跡W是以F為焦點(diǎn)以x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，由此能求出曲線W的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為：y=kx+2，聯(lián)立

y=kx+2 y2=4x

，得：k²x²+（4k-4）x+4=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（-

2

k

，0），由

MA

=α

AC

，

MB

=β

BC

，得，α=

-kx1

kx1+2

，β=

-kx2

kx2+2

，由此利用韋達(dá)定理能證明α+β為定值-1．

解答： （I）解：設(shè)動(dòng)圓圓心P（x，y），
由拋物線定義得：P點(diǎn)軌跡W是以F為焦點(diǎn)以x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，
設(shè)其方程為y²=2px，（p＞0），則

p

2

=1，解得p=2，
∴曲線W的方程為y²=4x．（4分）
（Ⅱ）證明：設(shè)直線l的方程為：y=kx+2，k≠0，
聯(lián)立

y=kx+2 y2=4x

，得：k²x²+（4k-4）x+4=0，①
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（-

2

k

，0），
則x1+x2=-

4k-4

k2

，x1x2=

4

k2

，②…（8分）
由

MA

=α

AC

，

MB

=β

BC

，得，
（x₁，y₁-2）=α(-x1-

2

k

，-y1)，（x₂，y₂-2）=β(-x2-

2

k

，-y2)，…（10分）
整理，得：α=

-kx1

kx1+2

，β=

-kx2

kx2+2

，
則α+β=

-2k2x1x2-2k(x1+x2)

k2x1x2+2k(x1+x2)+4

，
代入得α+β=-1，故α+β為定值且定值為-1．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線方程的求法，考查兩數(shù)和為定值的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．