Question

已知函數f（x）=

1+lnx

x

．
（I）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（II）若函數f（x）在區(qū)間（t，t+

1

2

）（t＞0）上不是單調函數，求實數t的取值范圍；
（III）如果當x≥1時，不等式f（x）≥

a

x+1

恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（I）求導f′（x）=-

lnx

x2

，從而由導數的正負確定函數的單調區(qū)間；
（II）由f（x）的單調增區(qū)間為（0，1），單調減區(qū)間為（1，+∞）得t＜1＜t+

1

2

，從而解得；
（III）不等式f（x）≥

a

x+1

可化為a≤

(x+1)(1+lnx)

x

，令g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

，從而化恒成立為a≤g_min（x），（x≥1）；從而轉化為函數的最值問題．

解答： 解：（I）∵f（x）=

1+lnx

x

，x＞0，故f′（x）=-

lnx

x2

，
則當x∈（0，1）時，f′（x）＞0，當x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0；
故f（x）的單調增區(qū)間為（0，1），單調減區(qū)間為（1，+∞）；
（II）∵f（x）的單調增區(qū)間為（0，1），單調減區(qū)間為（1，+∞）；
∴t＜1＜t+

1

2

，
故

1

2

＜t＜1；
故實數t的取值范圍為（

1

2

，1）；
（III）不等式f（x）≥

a

x+1

可化為a≤

(x+1)(1+lnx)

x

，
令g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

，
則當x≥1時，不等式f（x）≥

a

x+1

恒成立可化為
a≤g_min（x），（x≥1）；
而g′（x）=

x-lnx

x2

；
令h（x）=x-lnx；則h′（x）=1-

1

x

≥0；
故h（x）在[1，+∞）上是增函數，
故h（x）≥h（1）≥1；
故g′（x）=

x-lnx

x2

＞0；
故g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

在[1，+∞）上是增函數，
故g_min（x）=g（1）=2，
故a≤2；
故實數a的取值范圍為（-∞，2]．

點評：本題了函數的綜合應用及導數的綜合應用，同時考查了恒成立問題，屬于中檔題．