Question

【題目】已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

(1)求函數(shù)的極值；

(2)問：是否存在實(shí)數(shù),使得有兩個(gè)相異零點(diǎn)？若存在,求出的取值范圍；若不存在,請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ①當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值.②當(dāng)時(shí),函數(shù)有極小值為,無極大值；(2)存在,

【解析】

(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)的不同取值范圍,進(jìn)行分類討論,求出函數(shù)的極值；

(2)根據(jù)的不同取值范圍,進(jìn)行分類討論,結(jié)合、函數(shù)的極值的大小、(1)中的結(jié)論,最后求出的取值范圍.

解：(1)因?yàn)?/span>,所以.

①當(dāng)時(shí)，，

所以時(shí),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.

此時(shí)，函數(shù)無極值.

②當(dāng)時(shí),令，得,

當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.

此時(shí),函數(shù)有極小值為,無極大值.

(2)存在實(shí)數(shù),使得有兩個(gè)相異零點(diǎn).

由(1)知：①當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減；

又,所以此時(shí)函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，.

因?yàn)?/span>,則由（1）知；

取,令,

易得,所以在單調(diào)遞減,

所以,所以.

此時(shí),函數(shù)在上也有一個(gè)零點(diǎn).

所以,當(dāng)時(shí),函數(shù)有兩個(gè)相異零點(diǎn).

③當(dāng)時(shí),,，

此時(shí)函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn).

④當(dāng)時(shí),,因?yàn)?/span>,則由(1)知；

令函數(shù),易得,

所以,所以,即.

又,所以函數(shù)在上也有一個(gè)零點(diǎn),

所以,當(dāng)時(shí),函數(shù)有兩個(gè)相異零點(diǎn).

綜上所述,當(dāng)時(shí),函數(shù)有兩個(gè)相異零點(diǎn).