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已知數列{an}滿足a1=1,nan+1=(n+1)an+cn(n+1)(c為常數)
(1)證明:數學公式是等差數列;
(2)問是否存在正整數p、q(p±q)使ap=aq成立?若存在,請寫出C滿足的條件,若不存在,說明理由.
(3)設數學公式,若當n≥4,數列{bn}為遞數列,試求c的最小值.

解:(1)∵nan+1=(n+1)an+cn(n+1)
,即
從而數列{ }是首項為1,公差為c的等差數列
(2)若要使存在正整數p,q(p≠q)使ap=aq成立,
則p+p(p-1)c=p+q(q-1)c
∴p+q=1-,又p+q≥3
令p+q=k(k∈N且k≥3),則c=(k∈N且k≥3).
(3)
∵數列{bn}為遞減數列

=對任意的n∈N*恒成立
∴-cn2+(3c-1)n+1<0,即c(3n-n2)<n-1①
當n=1時,由①得c<0
當n=2時,由①得c<
當n=3時,由①得c∈R
當n≥4時,c>
設f(x)=,則f′(x)=
∴f(x)在[4,+∞)上是增函數,從而-
∴c≥0
綜上可知,滿足條件的實數c不存在.
分析:(1)根據nan+1=(n+1)an+cn(n+1)化簡變形,然后根據等差數列的定義進行判定是等差數列即可;
(2)先根據(1)求數列{bn}的通項公式,由數列{bn}為遞減數列,可得到bn+1-bn<0對任意的n∈N*恒成立,通過n=1、2、3分別求出c的范圍,再由根據函數的單調性求出的c的范圍與上面求出的c的范圍矛盾,得到實數c不存在.
(3)若要使存在正整數p,q(p≠q)使ap=aq成立,則p+p(p-1)c=p+q(q-1)c,然后求出c的值.
點評:本題主要考查了等差數列的判定,構造法求出函數的導數,判斷函數的單調性,以及新數列是等差數列的充分不必要條件,同時考查了計算能力,注意p+q的范圍,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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已知數列{an}滿足:a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
, n∈N*

(1)若數列{bn}滿足:bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)
,試證明數列bn-1是等比數列;
(2)求數列{anbn}的前n項和Sn;
(3)數列{an-bn}是否存在最大項,如果存在求出,若不存在說明理由.

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已知數列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1
則{an}的通項公式
 

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3
2
,且an=
3nan-1
2an-1+n-1
(n≥2,n∈N*).
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)證明:對于一切正整數n,不等式a1•a2•…an<2•n!

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(1)若a1=
54
,求an;
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(2012•北京模擬)已知數列{an}滿足an+1=an+2,且a1=1,那么它的通項公式an等于
2n-1
2n-1

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