解:(1)∵na
n+1=(n+1)a
n+cn(n+1)
∴
,即
從而數列{
}是首項為1,公差為c的等差數列
(2)若要使存在正整數p,q(p≠q)使a
p=a
q成立,
則p+p(p-1)c=p+q(q-1)c
∴p+q=1-
,又p+q≥3
令p+q=k(k∈N且k≥3),則c=
(k∈N且k≥3).
(3)
∵數列{b
n}為遞減數列
∴
=
對任意的n∈N
*恒成立
∴-cn
2+(3c-1)n+1<0,即c(3n-n
2)<n-1①
當n=1時,由①得c<0
當n=2時,由①得c<
當n=3時,由①得c∈R
當n≥4時,c>
設f(x)=
,則f′(x)=
∴f(x)在[4,+∞)上是增函數,從而-
∴c≥0
綜上可知,滿足條件的實數c不存在.
分析:(1)根據na
n+1=(n+1)a
n+cn(n+1)化簡變形,然后根據等差數列的定義進行判定
是等差數列即可;
(2)先根據(1)求數列{b
n}的通項公式,由數列{b
n}為遞減數列,可得到b
n+1-b
n<0對任意的n∈N
*恒成立,通過n=1、2、3分別求出c的范圍,再由根據函數的單調性求出的c的范圍與上面求出的c的范圍矛盾,得到實數c不存在.
(3)若要使存在正整數p,q(p≠q)使a
p=a
q成立,則p+p(p-1)c=p+q(q-1)c,然后求出c的值.
點評:本題主要考查了等差數列的判定,構造法求出函數的導數,判斷函數的單調性,以及新數列是等差數列的充分不必要條件,同時考查了計算能力,注意p+q的范圍,屬于中檔題.