Question

（12分）

已知x=1是函數(shù)f(x)=mx³-3(m+1)x²+nx+1的一個(gè)極值點(diǎn)，其中m,n∈R.

（1）求m與n的關(guān)系式；

（2）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（3）當(dāng)x∈[-1,1]時(shí)，m<0，函數(shù)y=f(x)的圖象上任意一點(diǎn)的切線斜率恒大于3m，求m的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

當(dāng)m>0時(shí)，f(x)在(1+)及(-，1)上單調(diào)遞增；在(1，1+)上單調(diào)遞減 .

（3）的取值范圍為

【解析】近幾年新課標(biāo)高考對(duì)于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)這一綜合問題的命制，一般以有理函數(shù)與半超越（指數(shù)、對(duì)數(shù)）函數(shù)的組合復(fù)合且含有參量的函數(shù)為背景載體，解題時(shí)要注意對(duì)數(shù)式對(duì)函數(shù)定義域的隱蔽，這類問題重點(diǎn)考查函數(shù)單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算、不等式方程的求解等基本知識(shí)，注重?cái)?shù)學(xué)思想（分類與整合、數(shù)與形的結(jié)合）方法（分析法、綜合法、反證法）的運(yùn)用.把數(shù)學(xué)運(yùn)算的“力量”與數(shù)學(xué)思維的“技巧”完美結(jié)合

解：(I)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911175253078495/SYS201207091118357026980713_DA.files/image013.png">是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn),所以,即，所以

（II）當(dāng)m=0時(shí)，上為增函數(shù)，在(6，+)上為減函數(shù)

當(dāng)m≠0時(shí)，=

當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)變化時(shí)，與的變化如下表：

				1
		0		0
	調(diào)調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

故由上表知，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

當(dāng)m>0時(shí)，f(x)在(1+)及(-，1)上單調(diào)遞增；在(1，1+)上單調(diào)遞減 .

（III）由已知得，即

又所以即①

設(shè)，其函數(shù)開口向上，由題意知①式恒成立，

所以解之得又所以

即的取值范圍為