Question

17．已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，D、E、F分別是BC、CA、AB的中點(diǎn)．
（1）在三角形內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)P，求滿足|PB|≥1且|PC|≥1的概率；
（2）在A、B、C、D、E、F這6點(diǎn)中任選3點(diǎn)，記這3點(diǎn)圍成圖形的面積為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)幾何概型的計(jì)算公式，求出滿足條件|PB|≥1且|PC|≥1的概率值即可；
（2）根據(jù)題意，求出3點(diǎn)圍成圖形的面積ξ的可能取值以及對(duì)應(yīng)的概率值，列出ξ的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望Eξ的值．

解答 解：（1）如圖所示，
分別以正△ABC的頂點(diǎn)B、C為圓心，以1為半徑畫(huà)圓弧，交邊AB、BC、AC于點(diǎn)F、D、E；
則點(diǎn)P在區(qū)域①時(shí)滿足條件|PB|≥1且|PC|≥1，
其概率為P=1-$\frac{{S}_{①}{+S}_{②}}{{S}_{△}}$=1-$\frac{π{•1}^{2}×\frac{\frac{2}{3}π}{2π}}{\frac{\sqrt{3}}{4}{×2}^{2}}$=1-$\frac{\sqrt{3}π}{9}$；
（2）在A、B、C、D、E、F這6點(diǎn)中任選3點(diǎn)，共有20種不同的取法；
記這3點(diǎn)圍成圖形的面積為ξ，則ξ=0，$\frac{1}{4}$S_△，$\frac{1}{2}$S_△，S_△；其中S_△=$\sqrt{3}$；
P（ξ=0）=$\frac{3}{20}$，P（ξ=$\frac{1}{4}$S_△）=$\frac{{C}_{3}^{2}{•C}_{3}^{1}+1}{20}$=$\frac{1}{2}$，P（ξ=$\frac{1}{2}$S_△）=$\frac{{C}_{3}^{2}{•C}_{3}^{1}-3}{20}$=$\frac{3}{10}$，P（ξ=S_△）=$\frac{1}{20}$；
所以隨機(jī)變量ξ的分布列為：

ξ	0	$\frac{\sqrt{3}}{4}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\sqrt{3}$
P	$\frac{3}{20}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{20}$

數(shù)學(xué)期望Eξ=0×$\frac{3}{20}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{3}{10}$+$\sqrt{3}$×$\frac{1}{20}$=$\frac{13\sqrt{3}}{40}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用古典概型的概率計(jì)算公式求幾何概率及其分布列和數(shù)學(xué)期望，正確求出試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的面積和長(zhǎng)度以及要求的事件的區(qū)域的面積和長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．