已知三棱錐A-BCD，三組對棱兩兩相等，且AB=CD=1，AD=BC=
3
，若三棱錐A-BCD的外接球表面積為
9π
2
．則AC=
5
5
．
分析：由四面體A-BCD相對的棱長度相等，將其放置于長方體中，如圖所示．該長方體的外接球就是四面體A-BCD的外接球，長方體的對角線是球的直徑．根據(jù)四面體外接球的表面積算出外接球的半徑長，再利用長方體對角線長公式結(jié)合題中數(shù)據(jù)加以計算，即可得出AC的長度．
解答：解：將四面體A-BCD放置于長方體中，如圖所示．
∵四面體A-BCD的頂點為長方體八個頂點中的四個，
∴長方體的外接球就是四面體A-BCD的外接球，
∵AB=CD=1，AD=BC=
3
，且三組對棱兩兩相等，
∴設(shè)AC=BD=x，得長方體的對角線長為
1
2
[12+(
3
)2+x2]
=
1
2
(4+x2)
，
可得外接球的直徑2R=
1
2
(4+x2)
，所以R=
2(4+x2)
4

∵三棱錐A-BCD的外接球表面積為
9π
2
，
∴4πR2=
9π
2
，解得R=
3
2
4
，即
2(4+x2)
4
=
3
2
4
，解之得x=
5

因即AC=BD=
5
．
故答案為：
5
點評：本題給出相對棱長相等的四面體，求在已知外接球的表面積情況下求棱AC長．著重考查了長方體的性質(zhì)、長方體的對角線長公式和球的表面積公式等知識，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知三棱錐A-BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E，F(xiàn)分別是直線AC，AD上的點，且
AE
AC
=
AF
AD
=λ．
（1）求二面角B-CD-A平面角的余弦值
（2）當(dāng)λ為何值時，平面BEF⊥平面ACD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知三棱錐A-BCD中，AB=CD，且直線AB與CD成60°角，點M、N分別是BC、AD的中點，則直線AB和MN所成的角是
60°
60°
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知三棱錐A-BCD的各棱長均為1，且E是BC的中點，則
AE
•
CD
=（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1992•云南）已知三棱錐A-BCD的體積是V，棱BC的長是a，面ABC和面DBC的面積分別是S1和S2．設(shè)面ABC和面DBC所成的二面角是α，那么sinα=
3aV
2S1S2
3aV
2S1S2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•大連一模）已知三棱錐A-BCD及其三視圖如圖所示．
（I）若DE⊥AB于E，DE⊥AC于F，求證：AC⊥平面DEF；
（Ⅱ）求二面角B-AC-D的大�。�

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