Question

在直角△ABC中，已知A（-3，0），B（3，0），直角頂點C．
（1）點C的軌跡是什么，求其軌跡方程；
（2）延長BC至D使得|DC|=|BC|，求點D的軌跡方程；
（3）連接OD交AC于點P，求點P的軌跡方程．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：直線與圓

分析：（1）直接由題意即可得到點C的軌跡；
（2）由題意可知C為BD的中點，利用中點坐標公式把C的坐標用D的坐標表示，代入（1）中的軌跡方程得答案；
（3）由題意可知P為△ABD的重心，由重心坐標公式用P的坐標表示D的坐標，代入（2）中的軌跡方程得答案．

解答： 解：（1）在直角△ABC中，由A（-3，0），B（3，0），可得|OC|=3，
C的軌跡是以O為圓心，OC=3的圓（除A、B兩點外），
故其軌跡方程為：x²+y²=9（y≠0）；
（2）由題意可知，C為BD的中點，
設D（x，y），C（x₀，y₀），
則

x0= x+3 2 y0= y 2

，代入圓C是方程得(

x+3

2

)2+(

y

2

)2=9(y≠0)，
即（x+3）²+y²=36（y≠0）；
（3）由題意可知，O為AB的中點，C為BD的中點，故P為△ABD的重心，
設P（x，y），D（x₁，y₁），
故

x= x1+3-3 3 = x1 3 y= y1 3

，得到

x1=3x y1=3y

，
代入D的軌跡方程中得到（3x+3）²+（3y）²=36（y≠0），
即（x+1）²+y²=4（y≠0）．

點評：本題考查了軌跡方程的求法，考查了利用代入法求圓的方程，訓練了重心坐標公式的應用，是中檔題．