Question

【題目】如圖，ABCD是塊矩形硬紙板，其中AB＝2AD，AD＝，E為DC的中點(diǎn)，將它沿AE折成直二面角D-AE-B．

（1）求證：AD⊥平面BDE；

（2）求二面角B-AD-E的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

試題分析：（1）本題為折疊問(wèn)題，注意折疊過(guò)程中得不變性．證線面垂直可回到判定定理（化為線與兩條相交直線垂直來(lái)證）．另也可建立空間坐標(biāo)系，運(yùn)用向量運(yùn)算來(lái)解決．

（2）由（1）已經(jīng)建立空間坐標(biāo)系，則關(guān)鍵是算出兩個(gè)平面的法向量，利用法向量的數(shù)量積，可算出二面角的余弦．（注意觀察二面角為鈍角還是銳角對(duì)應(yīng)余弦的負(fù)和正）．

試題解析： （1）由題設(shè)可知AD⊥DE，取AE中點(diǎn)O，連接OD，BE．∵AD＝DE＝，∴OD⊥AE．又二面角D-AE-B為直二面角，∴OD⊥平面ABCE．又AE＝BE＝2，AB＝2，∴AB2＝AE2＋BE2．∴AE⊥BE．取AB中點(diǎn)F，連接OF，則OF∥EB．∴OF⊥AE．以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA，OF，OD分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），

則A（1，0，0），D（0，0，1），B（－1，2，0），E（－1，0，0），＝（－1，0，1），＝（1，－2，1），＝（0，2，0），

設(shè)n＝（x1，y1，z1）是平面BDE的法向量，

則即取x1＝1，則z1＝－1．

于是n＝（1，0，－1）．∴n＝－．∴n∥．∴AD⊥平面BDE．

（2）設(shè)m＝（x2，y2，z2）是平面ABD的一個(gè)法向量，

則m·＝0，m·＝0，∴取x2＝1，則y2＝1，z2＝1，則m＝（1，1，1），平面ADE的法向量＝（0，1，0）．∴cos〈m，〉＝＝＝．

∴二面角B-AD-E的余弦值為．