Question

7．已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，滿足f（x+1）=$\frac{1-f（x）}{1+f（x）}$．
（1）證明：2是函數(shù)f（x）的周期；
（2）當x∈[0，1）時，f（x）=x，求f（x）在x∈[-1，0）時的解析式，并寫出f（x）在x∈[2k-1，2k+1）（k∈Z）時的解析式；
（3）對于（2）中的函數(shù)f（x），若關于x的方程f（x）=ax恰好有20個解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令x取x+1代入$f（x+1）=\frac{1-f（x）}{1+f（x）}$化簡后，由函數(shù)周期性的定義即可證明結(jié)論；
（2）由x∈[-1，0）得x+1∈[0，1），求出f（x+1）代入$f（x+1）=\frac{1-f（x）}{1+f（x）}$化簡后求出f（x），即可求出一個周期[-1，1）上的解析式，利用函數(shù)的周期性求出f（x）在x∈[2k-1，2k+1）（k∈Z）時的解析式；
（3）由（2）和函數(shù)的周期性畫出f（x）的圖象，將方程根的問題轉(zhuǎn)化為圖象的交點問題，根據(jù)圖象和條件對a分類討論，分別結(jié)合圖象和條件列出不等式組求出a的取值范圍．

解答 證明：（1）因為$f（x+1）=\frac{1-f（x）}{1+f（x）}$，令x取x+1得，
所以$f（x+2）=\frac{1-f（x+1）}{1+f（x+1）}=\frac{{1-\frac{1-f（x）}{1+f（x）}}}{{1+\frac{1-f（x）}{1+f（x）}}}=f（x）$，
所以，2是函數(shù)f（x）的周期．      
解：（2）當x∈[-1，0）時，x+1∈[0，1），則f（x+1）=x+1，
又$f（x+1）=\frac{1-f（x）}{1+f（x）}$，即$\frac{1-f（x）}{1+f（x）}=x+1$，解得$f（x）=-\frac{x}{x+2}$．
所以，當x∈[-1，0）時，$f（x）=-\frac{x}{x+2}$．    
所以，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-\frac{x}{x+2}\;，\;x∈[-1\;，\;0）\;\\ x\;\;\;，\;x∈[0\;，\;1）\;.\end{array}\right.$
因為f（x）的周期為2，所以當x∈[2k-1，2k+1）（k∈Z）時，
f（x）=f（x-2k）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{x-2k}{x-2k+2}，x∈[2k-1，2k）}\\{x-2k，[2k，2k+1）}\end{array}\right.$，
（3）由（2）作出函數(shù)的圖象，則方程f（x）=ax解的個數(shù)：
就是函數(shù)f（x）的圖象與直線y=ax的交點個數(shù)．      
若a=0，則x=2k（k∈Z）都是方程的解，
不合題意． 
若a＞0，則x=0是方程的解．
要使方程恰好有20個解，在區(qū)間[1，19）上，f（x）有9個周期，每個周期有2個解，
在區(qū)間[19，21）上有且僅有一個解．
則$\left\{\begin{array}{l}19a＜1\;\\ 21a＞1\;\end{array}\right.$解得，$\frac{1}{21}＜a＜\frac{1}{19}$．
若a＜0，同理可得$-\frac{1}{19}＜a＜-\frac{1}{21}$．
綜上，$a∈（{-\frac{1}{19}\;，\;-\frac{1}{21}}）∪（{\frac{1}{21}\;，\;\frac{1}{19}}）$．

點評 本題考查了函數(shù)周期性以及解析式，方程的根與函數(shù)圖象交點之間的轉(zhuǎn)化問題，考查了數(shù)形結(jié)合思想，推理能力與計算能力，屬于難題．