Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}x+k（1-{a}^{2}），x≥0}\\{{x}^{2}+（{a}^{2}-6a+8）x+（3-a）^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，其中a∈R．若對任意的非零實數(shù)x₁，存在唯一的非零實數(shù)x₂（x₁≠x₂），使得f（x₁）=f（x₂）成立，則k的取值范圍是k＜0或k≥8．

Answer 1

分析 由于函數(shù)f（x）是分段函數(shù)，且對任意的非零實數(shù)x₁，存在唯一的非零實數(shù)x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立，得到x=0時，f（x）=k（1-a²），進而得到，關(guān)于a的方程（3-a）²=k（1-a²）有實數(shù)解，即得△≥0，解出k即可．

解答 解：由分段函數(shù)的表達式當(dāng)x=0時，f（x）=k（1-a²），
又由對任意的非零實數(shù)x₁，存在唯一的非零實數(shù)x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立，
∴函數(shù)必須為連續(xù)函數(shù)，即在x=0附近的左右兩側(cè)函數(shù)值相等，
∴k≠0，且（3-a）²=k（1-a²），即（k+1）a²-6a+9-k=0有實數(shù)解，
所以△=6²-4（k+1）（9-k）≥0，解得k≤0或k≥8，
又∵k≠0，
∴k的取值范圍為k＜0或k≥8，
故答案為：k＜0或k≥8．

點評 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度較大．注意利用數(shù)形結(jié)合進行求解．