Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{6}{x-1}$，
（1）判斷函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性并用單調(diào)性的定義證明；
（2）若x∈[2，4]，求函數(shù)f（x）值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)減函數(shù)的定義，設(shè)x₁＞x₂＞1，通過作差證明f（x₁）＜f（x₂）即可．
（2）由（1）知函數(shù)f（x）在[2，4]上是減函數(shù)，即可求函數(shù)f（x）值域．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，證明如下：
設(shè)x₁＞x₂＞1，則：f（x₁）-f（x₂）=$\frac{6（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$，
∵x₁＞x₂＞1，
∴x₂-x₁＜0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)．
（2）由（1）知函數(shù)f（x）在[2，4]上是減函數(shù)，
∴f（x）_min=f（4）=2，f（x）_max=f（2）=6．

點評 考查減函數(shù)的定義，以及根據(jù)減函數(shù)的定義證明一個函數(shù)為減函數(shù)的方法及過程，考查單調(diào)性的運用，屬于中檔題．