6已知數(shù)列{an}、{bn}滿(mǎn)足bn=,求證：數(shù)列{an}成等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列。

證明略


解析:

①必要性：

設(shè){an}成等差數(shù)列，公差為d,∵{an}成等差數(shù)列

    　　

從而bn+1－bn=a1+n·d－a1－(n－1) d=d為常數(shù)。

    故{bn}是等差數(shù)列，公差為d。

②充分性:

設(shè){bn}是等差數(shù)列，公差為d′,則bn=(n－1)d′

∵bn(1+2+…+n)=a1+2a2+…+nan                                                           ①

bn－1(1+2+…+n－1)=a1+2a2+…+(n－1)an                                  ②

①－②得：nan=bn－1?

從而得an+1－an=d′為常數(shù)，故{an}是等差數(shù)列。

綜上所述，數(shù)列{an}成等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列。

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足條件（n-1）an+1=（n+1）（an-1），a2=6，令bn=an+n（n∈N*）
（Ⅰ）寫(xiě)出數(shù)列{bn}的前四項(xiàng)；
（Ⅱ）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，并給出證明；
（Ⅲ）是否存在非零常數(shù)p，q，使得數(shù)列{
anpn+q
}成等差數(shù)列？若存在，求出p，q滿(mǎn)足的關(guān)系式；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}：a1a2，…，an（0≤a1≤a2…≤an），n≥3時(shí)具有性質(zhì)P：對(duì)任意的i，j（1≤i≤j≤n），aj+ai與aj-ai兩數(shù)中至少有一個(gè)是該數(shù)列中的一項(xiàng)，現(xiàn)給出以下四個(gè)命題：
①數(shù)列0，1，3具有性質(zhì)P；         ②數(shù)列0，2，4，6具有性質(zhì)P；
③數(shù)列{an}具有性質(zhì)P，則a1=0；    ④若數(shù)列a1，a2，a3（0≤a1＜a2＜a3）具有性質(zhì)P，則a1+a3=2a2．
其中真命題的序號(hào)為
②③④
②③④
．（所有正確命題的序號(hào)都寫(xiě)上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2004•武漢模擬）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a3+a11=50，又a4=13，則a2等于（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

 6已知數(shù)列{an}、{bn}滿(mǎn)足bn=,求證：數(shù)列{an}成等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列。

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