Question

（1）設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=3a_n，n∈N₊．求{a_n}的通項公式及前n項和S_n；
（2）已知數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，且T_n=-n²+4n，求T_n的最大值和通項b_n．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的前n項和,數(shù)列的函數(shù)特性,等差數(shù)列的前n項和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意和等比數(shù)列的定義判斷出數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，代入通項公式、前n項和公式化簡即可；
（2）將T_n=-n²+4n配方，由二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值，再根據(jù)當(dāng)n=1時b₁=T₁，當(dāng)n≥2時b_n=T_n-T_n-1，求出通項b_n．

解答： 解：（1）由a_n+1=3a_n 得，

an+1

an

=3，
所以數(shù)列{a_n}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列…2分
則an=1×3n-1=3^n-1      4分，
Sn=

1-3n

1-3

=

1

2

(3n-1)   6分
（2）由題意得，T_n=-n²+4n=-（n-2）²+4，8分
當(dāng)n=2時，T_n取得最大值4  …9分
當(dāng)n=1時，b₁=T₁=3  …9分
當(dāng)n≥2時，b_n=T_n-T_n-1=-n²+4n-[-（n-1）²+4（n-1）]=-2n+5     12分
且b₁也適合上式，所以b_n=-2n+5         13分．

點評：本題考查等比數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求數(shù)列前n項和的最值問題，以及數(shù)列的通項與前n項和的關(guān)系式的應(yīng)用，屬于中檔題．