Question

7．設(shè)向量$\overrightarrow a$=（2，sinθ），$\overrightarrow b$=（1，cosθ），θ為銳角．
（1 ）若$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=$\frac{13}{6}$，求sinθ+cosθ的值；
（2 ）若$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$，求tan（θ-$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件通過(guò)向量的數(shù)量積，以及三角函數(shù)的平方關(guān)系式，結(jié)合角的范圍，求解即可．
（2）利用向量共線的充要條件列出方程，求出正切函數(shù)值，化簡(jiǎn)所求的表達(dá)式，求解即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a•\overrightarrow b=2+sinθcosθ=\frac{13}{6}$，
∴$sinθcosθ=\frac{1}{6}$．  …（2分）
∴${（sinθ+cosθ）^2}=1+2sinθcosθ=\frac{4}{3}$
又∵θ為銳角，∴$sinθ+cosθ=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$． …（5分）
（2）∵$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，∴sinθ=2cosθ．  …（7分）
$\begin{array}{l}∴tanθ=2\\∵tan（θ-\frac{π}{3}）=\frac{{tanθ-\sqrt{3}}}{{1+tanθ•\sqrt{3}}}=\frac{{2-\sqrt{3}}}{{1+2×\sqrt{3}}}=\frac{{5\sqrt{3}-8}}{11}\end{array}$…（10分）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量平行垂直的坐標(biāo)表示，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角恒等變換公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．