分析:(1)m即正方形的周長(zhǎng),l由3段
圓弧構(gòu)成,其中2段弧所在圓的半徑等于1,1段弧所在圓的半徑等于
,從而
求得l的值.
(2)用分段函數(shù)表示函數(shù)f(x)的解析式,由此求出遞增區(qū)間和遞減區(qū)間,及函數(shù)的零點(diǎn).
(3)易知直線y=ax恒過(guò)原點(diǎn),函數(shù)y=f(x),x∈[-8,8]的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,分類討論直線y=ax在每一段上
與y=f(x)的交點(diǎn)的個(gè)數(shù),綜合可得結(jié)論.
解答:解:(1)m即正方形的周長(zhǎng),∴m=4,…(2分)
l由3段
圓弧構(gòu)成,其中2段弧所在圓的半徑等于1,1段弧所在圓的半徑等于
,
故l=2[
×2π×1]+
×2π×
=(1+
)π.…(4分)
(2)函數(shù)f(x)=
| , 4k-2≤x≤4k-1 | , 4k-1≤x≤4k | , 4k≤x≤4k+1 | , 4k+1≤x≤4k+2 |
| |
,k∈z.…(7分)
函數(shù)性質(zhì) |
結(jié) 論 |
奇偶性 |
偶函數(shù) |
單調(diào)性 |
遞增區(qū)間 |
[4k,4k+2],k∈z |
遞減區(qū)間 |
[4k-2,4k],k∈z |
零點(diǎn) |
x=4k,k∈z |
…(10分)
(3)f(x)=a|x|在區(qū)間[-8,8]刪的根的個(gè)數(shù)即為函數(shù)f(x)的圖象和直線y=a|x|的交點(diǎn)個(gè)數(shù),
(i)易知直線y=ax恒過(guò)原點(diǎn);
當(dāng)直線y=ax過(guò)點(diǎn)(1,1)時(shí),a=1,此時(shí)點(diǎn)(2,0)到直線y=x的距離為
,
直線y=x與曲線 y=
,x∈[1,3]相切.
當(dāng)x≥3時(shí),y=x恒在曲線y=f(x)之上.
(ii)當(dāng)直線y=ax與曲線 y=
,x∈[5,7]相切時(shí),由點(diǎn)(6,0)到直線y=ax
的距離為
,a=
,此時(shí)點(diǎn)(5,0)到直線 y=
x的距離為
,
直線y=
x與曲線y=
,x∈[4,5]相離.
(iii)當(dāng)直線y=ax與曲線 y=
,x∈[4,5]相切時(shí),由點(diǎn)(5,0)到直線 y=ax
的距離為1,a=
=
,此時(shí)點(diǎn)(6,0)到直線y=
x的距離為
<
,
直線y=
x與曲線 y=
,x∈[5,7]相交于兩個(gè)點(diǎn).
(ⅳ)當(dāng)直線y=ax過(guò)點(diǎn)(5,1)時(shí),a=
,此時(shí)點(diǎn)(5,0)到直線y=
x的距離為
<1,直線y=
x與曲線 y=
,x∈[4,5]相交于兩個(gè)點(diǎn).
點(diǎn)(6,0)到直線y=
x的距離為
<
,直線y=
x與曲線y=
,x∈[5,7]相交于兩個(gè)點(diǎn).
(ⅴ)當(dāng)a=0時(shí),直線y=0與曲線y=f(x),x∈[-8,8]有且只有5個(gè)交點(diǎn);
(ⅵ)當(dāng)a<0時(shí),直線y=ax與曲線y=f(x),x∈[-8,8]有且只有1個(gè)交點(diǎn);
因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x),x∈[-8,8]的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,…(14分)
故綜上可知:(1)當(dāng)a<0時(shí),方程 f(x)=a|x|只有1實(shí)數(shù)根;
(2)當(dāng)a>
時(shí),方程f(x)=a|x|有3個(gè)實(shí)數(shù)根;
(3)當(dāng)a=
,或a=0時(shí),方程f(x)=a|x|有5個(gè)實(shí)數(shù)根;
(4)當(dāng) 0<a<
或
<a<
時(shí),方程f(x)=a|x|有7個(gè)實(shí)數(shù)根;
(5)當(dāng)a=
時(shí),方程f(x)=a|x|有9個(gè)實(shí)數(shù)根;
(6)當(dāng)a=
,方程f(x)=a|x|有2個(gè)實(shí)數(shù)根;
(7)當(dāng)
<a<
時(shí),方程f(x)=a|x|有11個(gè)實(shí)數(shù)根.…(18分)