Question

如圖，已知橢圓：的離心率為，以橢圓的左頂點為圓心作圓：，設(shè)圓與橢圓交于點與點．

（1）求橢圓的方程；

（2）求的最小值，并求此時圓的方程；

（3）設(shè)點是橢圓上異于,的任意一點，且直線分別與軸交于點，為坐標(biāo)原點，求證：為定值．

 

 

Answer 1

（1） ．（2）．（3）見解析.

【解析】

試題分析：（1）依題意，得，，，即得解；

（2）點與點關(guān)于軸對稱，設(shè)，， 不妨設(shè)．

由于點在橢圓上，可得． （*）

由已知，計算 ．

根據(jù)，知當(dāng)時，取得最小值為．

由（*）式，，將代入圓的方程得到．

（3） 設(shè)，則直線的方程為：，

確定， ，計算 （**）

又由點與點在橢圓上， ，，代入（**）式，得： ．

試題解析：（1）依題意，得，，；

故橢圓的方程為 ． 3分

（2）點與點關(guān)于軸對稱，設(shè)，， 不妨設(shè)．

由于點在橢圓上，所以． （*） 4分

由已知，則，，

． 6分

由于，故當(dāng)時，取得最小值為．

由（*）式，，故，又點在圓上，代入圓的方程得到．

故圓的方程為：． 8分

（3） 設(shè)，則直線的方程為：，

令，得， 同理：， 10分

故 （**） 11分

又點與點在橢圓上，故，， 12分

代入（**）式，得： ．

所以為定值． 14分

考點：1.橢圓的幾何性質(zhì)；2.直線與橢圓的位置關(guān)系；3.圓的方程.