Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足3S_n=4a_n-8．
（1）求數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₂a_n，若T_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求數(shù)列{

1

Tn

}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（1）再寫一式，兩式相減，可得數(shù)列{a_n}是以8為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，由此可求數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式；
（2）確定數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，進(jìn)而可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，利用裂項(xiàng)法，可求數(shù)列{

1

Tn

}的前n項(xiàng)和．

解答：解：（1）∵3S_n=4a_n-8，①
∴當(dāng)n≥2時(shí)，3S_n-1=4a_n-1-8②
①-②得，3（S_n-S_n-1）=4a_n-4a_n-1，∴a_n=4a_n-1，
n=1時(shí)，3S₁=4a₁-8，∴a₁=8
∴數(shù)列{a_n}是以8為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列
∴a_n=2²ⁿ⁺¹；
（2）b_n=log₂a_n=2n+1，∴T_n=

n(3+2n+1)

2

=n（n+2）
∴

1

Tn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
∴數(shù)列{

1

Tn

}的前n項(xiàng)和為

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

）=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3n2+9n+4

2(n+1)(n+2)

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，確定數(shù)列的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)法求和是關(guān)鍵．