Question

設(shè)二次函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)＝0的兩個(gè)實(shí)根的平方和為10，f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(0，3)，求f(x)的解析式．

Answer 1

答案：
解析：

思路分析：要求的函數(shù)為二次函數(shù)，一般可設(shè)其為f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，然后根據(jù)已知條件求出系數(shù)a、b、c，從而求得該二次函數(shù)．由于本題條件f(2＋x)＝f(2－x)隱含著函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝2對(duì)稱(chēng)，故可設(shè)函數(shù)f(x)＝a(x－2)2＋k． 　　解：∵f(2＋x)＝f(2－x)， 　　∴f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝2對(duì)稱(chēng)． 　　于是，設(shè)f(x)＝a(x－2)2＋k(a≠0)， 　　則由f(0)＝3，可得k＝3－4a， 　　∴f(x)＝a(x－2)2＋3－4a＝ax2－4ax＋3． 　　∵ax2－4ax＋3＝0的兩實(shí)根的平方和為10， 　　∴10＝x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16－，∴a＝1． 　　∴f(x)＝(x－2)2－1＝x2－4x＋3．

提示：

解題的過(guò)程就是運(yùn)用已知條件的過(guò)程，已知條件要用得能揭露題目的本質(zhì)(越徹底越好)．如果設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，運(yùn)用條件f(2＋x)＝f(2－x)也能求得b＝－4a，但不如采用上述對(duì)稱(chēng)法對(duì)問(wèn)題揭露得徹底． 　　本題解法為待定系數(shù)法，它適用于已知函數(shù)的思路解析式的類(lèi)型(例如一次函數(shù)、二次函數(shù)等)及函數(shù)的某些特征求該函數(shù)的問(wèn)題，關(guān)鍵在于快捷地求出待定常數(shù)．