Question

9．已知在（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{2\root{3}{x}}$）ⁿ的展開式中，第6項為常數(shù)項．
（1）求展開式中各項系數(shù)的和；
（2）求C${\;}_{2}^{2}$+C${\;}_{3}^{2}$+C${\;}_{4}^{2}$+…+C${\;}_{n}^{2}$的值；
（3）求展開式中系數(shù)絕對值最大的項．

Answer 1

分析 （1）在二項式（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{2\root{3}{x}}$）ⁿ的展開式的通項公式中，令r=5，可得x的系數(shù)為0，求得n的值．再在二項式中，令x=1，可得展開式中各項系數(shù)的和．
（2）利用二項式系數(shù)的性質，求得要求式子的值．
（3）設第r+1項的系數(shù)最大，利用通項公式列出不等式組，求得r的范圍，可得結論．

解答 解：（1）二項式（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{2\root{3}{x}}$）ⁿ的展開式的通項公式為T_r+1=${C}_{n}^{r}$•${（-\frac{1}{2}）}^{r}$•${x}^{\frac{n-2r}{3}}$，
令r=5，可得$\frac{n-2r}{3}$=0，求得n=10．
令x=1，可得展開式中各項系數(shù)的和${（1-\frac{1}{2}）}^{10}$=$\frac{1}{1024}$．
（2）原式=C${\;}_{2}^{2}$+C${\;}_{3}^{2}$+C${\;}_{4}^{2}$+…+C${\;}_{n}^{2}$=${C}_{3}^{3}$+C${\;}_{3}^{2}$+C${\;}_{4}^{2}$+…+${C}_{10}^{2}$=${C}_{11}^{3}$=165．
（3）由$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{10}^{r}{{•（-\frac{1}{2}）}^{r}≥C}_{10}^{r-1}{•（-\frac{1}{2}）}^{r-1}}\\{{C}_{10}^{r}{{•（-\frac{1}{2}）}^{r}≥C}_{10}^{r+1}{•（-\frac{1}{2}）}^{r+1}}\end{array}\right.$，求得 $\frac{8}{3}≤r≤\frac{11}{3}$，∴r=3，
∴展開式中系數(shù)絕對值最大的項為T₄=-15${x}^{\frac{4}{3}}$．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質，屬于中檔題．